Pomiary i błędy

    Klasyczna zasada pomiaru     |     Przyczyny błędów     |      Rodzaje błędów    |     Niepewności pomiarowe w eksperymentach szkolnych    
|     Prowadzenie prostej przez punkty doświadczalne (wykresy)     |

Klasyczna zasada pomiaru

       Klasyczna zasada pomiaru: Oddziaływanie przyrządu pomiarowego na badany układ powinno być zaniedbywalnie małe.

     Oznacza to, że przyrząd pomiarowy nie powinien w zauważalnym stopniu wpływać na stan mierzonego układu. Na przykład pomiar termometrem rtęciowym temperatury kropli wody, spowodowałby istotną zmianę jej temperatury. Pomiar natężenia prądu za pomocą amperomierza o dużym oporze wewnętrznym spowodowałby znaczną zmianę natężenia prądu w obwodzie.


Przyczyny błędów

     

Nie ma pomiarów, które nie byłyby obarczone błędami!

        Czynniki wpływające na wynik pomiaru:

  • Przyrząd pomiarowy. Każdy przyrząd ma określoną dokładność. Np. linijką centymetrową zmierzymy długość ciała z dokładnością do 1 mm.
  • Niedokładne określenie mierzonej wielkości. Wiele wielkości fizycznych ma charakter statystyczny. Przykładem takiej wielkości jest temperatura. Wielkości tego rodzaju ze względu na fluktuacje nie mogą być zmierzone dowolnie dokładnie.
  • Niedokładność odczytu.
  • Czynniki zewnętrzne. W czasie pomiaru ziemskiego pola magnetycznego, należy uwzględnić zewnętrzne pole magnetyczne konstrukcji np. centralnego ogrzewania. W czasie pomiaru oporu żarówki należy uwzględnić zmianę temperatury.


    Rodzaje błędów

    • Błędy grube. Błędy grube wynikają, ogólnie mówiąc, z niestaranności wykonania pomiaru. Może to być błąd wynikający np. z nieprzestawienia zakresu miernika, z wzięcia do obliczeń nieprawidłowej stałej, z popsucia się jakiegoś elementu układu. Błędy grube odrzucamy.
    • Błędy systematyczne. Polegają one na nieuwzględnieniu jakiegoś czynnika stale wpływającego na pomiar. Na ogół błędy systematyczne powodują, że wyniki są stale wyższe lub stale niższe od wartości rzeczywistych. Z błędów systematycznych dość często występujących w praktyce szkolnej należy wymienić błędy ważenia przy użyciu wagi, co do której nie ma pewności, że ma równe ramiona, pomiary za pomocą linijek produkowanych przez przypadkowych producentów.
      Aby uniknąć błędów systematycznych należy uwzględnić wszystkie czynniki mające wpływ na pomiar np. siłę wyporu w powietrzu podczas ważenia, uwzględnić rozszerzalność cieplną cieczy przy pomiarze za pomocą piknometru itp.
    • Błędy tablicowe. Są to błędy związane z przyjęciem niewłaściwej wartości stałej tablicowej.
    • Błędy przypadkowe. Wszystkie nie uwzględnione przez nas czynniki wpływają na pomiar w sposób przypadkowy, raz zmniejszając, raz zwiększając mierzoną wartość.


    Niepewności pomiarowe w eksperymentach szkolnych

    • Niepewności bezwzględne.
      Wynik pomiaru wielkości fizycznej x podaje się jako przedział, w którym znajduje się wartość rzeczywista:

      gdzie: - wartość średnia wielkości mierzonej x,
      Δx - bezwzględna niepewność pomiarowa wielkości x.

      Wartość rzeczywista znajduje się pomiędzy wartościami: .

      Przykład: Wartość prędkości światła w próżni wynosi: c= (299792,5 0,3) km/s, a więc nieznana nam wartość rzeczywista znajduje się pomiędzy wartościami 299792,2 km/s a 299792,8 km/s.

    • Niepewność względna
      Aby określić jakość pomiaru, posługujemy się często niepewnością względną, zdefiniowaną jako .


      Pomiary proste

      Pomiary proste (bezpośrednie) to pomiary wielkości fizycznej za pomocą odpowiednio skonstruowanego przyrządu. Np. masę wyznaczamy za pomocą wagi, czas mierzymy stoperem.

      • Niepewność systematyczna. Jeśli powtarzając wielokrotnie pomiar, otrzymujemy wyniki nie różniące się między sobą więcej niż o wartość działki elementarnej (działką elementarną nazywamy różnicę między dwiema najbliższymi wartościami skali pomiarowej), to za miarę niepewności przyjmujemy wartość działki elementarnej przyrządu pomiarowego. Dla przymiaru milimetrowego Δx = 1 mm, dla zegarka Δx = 1s, dla stopera Δx = 0,1 s.

      • Niepewność przypadkowa. Jeżeli wyniki pomiarów różnią się między sobą więcej niż o wartość działki elementarnej przyrządu pomiarowego, to dla celów szacunkowych, możemy zastosować procedurę uproszczoną i za miarę niepewności przyjąć połowę różnicy między największą i najmniejszą z otrzymanych wartości:
        Δx = 1/2 (xmax - xmin).

        Za wynik pomiaru wartość średnią z wszystkich odczytów. Tak oszacowane niepewności nazywamy niepewnościami maksymalnymi.


      Pomiary pośrednie

      Pomiary pośrednie (złożone) to pomiary wielkości fizycznych, których nie możemy zmierzyć bezpośrednio, gdyż nie dysponujemy odpowiednim przyrządem. Wyznaczamy je wykorzystując ich związek z innymi wielkościami fizycznymi, które można zmierzyć bezpośrednio. Np. gęstość cieczy możemy wyznaczyć mierząc jej masę i objętość, a następnie wykorzystać związek ρ = m/V.

      • Metoda najmniej korzystnego przypadku (NKP).
        Δx = ½ (xmax - xmin).

        Przykład: Pomiar powierzchni prostopadłościennego klocka. Dokonujemy pomiaru dwóch krawędzi. Niepewności bezpośrednich pomiarów wynoszą 1 mm (przymiar milimetrowy).

        Obliczamy Smax:

        Smax = (a + Δa)∙(b + Δb)

        Obliczamy Smin:

        Smin=(a - Δa)∙(b - Δb)

        Szukane pole powierzchni jest równe średniej arytmetycznej z wartości ekstremalnych:

        Niepewność bezwzględna pomiaru:
        ΔS = 1/2 (Smax - Smin)

        Wynik pomiaru:

      • Uproszczona metoda logarytmiczna (UML).
        A - pierwsza wielkość mierzona,
        B - druga wielkość mierzona,
        x - wielkość fizyczna mierzona pośrednio.

        1. Wielkość x jest sumą wielkości A i B:
          Δx = ΔA + ΔB
        2. Wielkość x jest różnicą wielkości A i B:
          Δx = ΔA + ΔB
        3. Wielkość x jest iloczynem wielkości A i B:
          Δx/x=(ΔA/A +ΔB/B)
        4. Wielkość x jest ilorazem wielkości A i B:
          Δx/x=(ΔA/A +ΔB/B)
        5. Wielkość x jest ilorazem wielkości A i B2:
          Δx/x=(ΔA/A +2ΔB/B)
        6. Wielkość x jest równa wielkości A podniesionej do potęgi n:
          Δx/x = n ΔA/A

          Przykład: Pomiar powierzchni prostopadłościennego klocka.

          Δa = Δb = 1 mm = 0,1 cm

          Lp.ab
          nrcmcm
          115,19,2
          215,09,1
          315,29,0
          415,19,2
          515,29,1

          Obliczamy średnią wartość a: 15,1 cm,
          Obliczamy średnią wartość b: 9,1 cm,
          Obliczamy średnią wartość S: 137,4 cm2.

          Niepewność względna pomiaru w:

          w = 0,02, więc = 0,02 ∙ 137,4 cm2 = 2,7 cm2

          Wynik pomiaru:


          Prowadzenie prostej przez punkty doświadczalne (wykresy)

          Niektóre eksperymenty wymagają dodatkowo wykonania wykresów ukazujących, jak jedna z mierzonych wielkości zależy od drugiej mierzonej wielkości.
          1. W układzie współrzędnych OXY zaznaczamy punkty pomiarowe.
          2. Wokół każdego punktu zaznaczamy niepewności pomiarowe mierzonych wielkości, tak by powstały prostokąty o bokach 2 Δx i 2 Δy. Punkty pomiarowe powinny znajdować się w środkach tych prostokątów.
          3. Jeżeli do punktów doświadczalnych dopasujemy funkcję liniową, to prowadzimy prostą tak, aby przebiegała ona przez wszystkie lub prawie wszystkie prostokąty i możliwie jak najbliżej punktów pomiarowych.